竖直平面的组合
正六棱柱的侧面投影为正六边形。延展 6 个侧面后，可视为三组平行平面。任何一组平行平面之间形成“夹层”，而不同方向的平面则彼此相交，构造出 19 个竖向延伸的区域。
问题一
正六棱柱：八个平面如何把空间切成 57 部分？
正六棱柱包含 2 个水平面与 6 个竖直面。延展后，6 个竖直面对应于三组互相平行的平面，与上下两平面共同构成 57 个空间区域。 场景中提供动态截面，帮助你观察“每层 19 块 × 三层 = 57”的结构。
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水平切分创造倍数关系
上下两个水平面与竖直切分独立。它们把竖直延伸的 19 个区域三等分：上层、夹层、下层，从而得到 3 × 19 = 57 个三维区域。
问题二
正八面体：八个切面构成 65 个空间区域
正八面体的每一个面都延展成平面，可表示为 ±x ± y ± z = 1 的 8 个方程。它们构成四组相互平行的平面，整体对称且交错复杂。 在交互场景中，通过可移动的截线和颜色提示，可以看到中心区域的“立方体核”以及向外逐渐扩张的多面体区域。
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四组对向平面
正八面体的面法向量对应立方体的空间对角线，构成四组相互平行的平面。延展后，这些平面在空间中交错，生成大量楔形和无界区域。
组合计数思路
可以按平面逐一加入的思想统计区域数：每引入一个新平面，就在其自身上形成若干新区域，从而分割已有体积。 顺序累积后，得到总计 65 个三维区域。
解析总结
从可视化回到推导：两道题的核心逻辑
正六棱柱
- 6 个侧面 = 3 组平行竖直平面 → 平面内形成 19 个区域
- 上下两个水平面互不影响竖直切分 → 三层结构
- 综合：19 × 3 = 57 个空间区域，视觉上可分为上层、核心、中层三个高度区间
正八面体
- 八个平面来自 ±x ± y ± z = 1，共四组平行面
- 逐个加入平面，统计其与已有平面构成的分割
- 利用平面阵列的对称性，可验证总数为 65，并形成内外多层的空间网格